順列と組合せ
今回は、順列と組合せの違い解説していきます。
順列と組合せといえば、場合の数や確率を解く上で欠かせない単元ですね!
それぞれこんな感じの計算をしますね。
順列 :\({}_5P_2=5\times 4=20\)
組合せ:\({}_5C_2=\displaystyle\frac{{}_5P_2}{2!}=\frac{20}{2}=10\)
まだ計算の詳細はわからなくても大丈夫です。それぞれ、
順列 :P(Permutation)
組合せ:C(Combination)
の部分が違いますね。
この2つの公式を見てもなかなか違いに気づけないものです。
今回は、イメージで違いを掴む方法と簡単な例に当てはめて違いを掴む方法の2つの方法を使って説明していこうと思います!
実際に問題を解きたい方は以下の記事をチェック!


順列の定義
順列
異なる \(n\) 個のものの中から異なる \(r\) 個を選んで並べる。
その時の順列の総数は、
\({}_nP_r=n\times (n-1)\times (n-2)\cdots (n-r+1)\)
例)
\({}_5P_3=5\times 4\times 3=60\)
\({}_6P_2=6\times 5=30\)
組合せの定義
組合せ
異なる \(n\) 個のものの中から異なる \(r\) 個を選んで並べない。(選ぶだけ)
その時の組合せの総数は、
\({}_nC_r=\displaystyle\frac{n\times (n-1)\times (n-2) \cdots (n-r+1)}{r!}\)
\(=\displaystyle\frac{{}_nP_r}{r!}\)
例)
\({}_4C_2=\displaystyle\frac{{}_4P_2}{2!}=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6\)
\({}_6C_3=\displaystyle\frac{{}_6P_3}{3!}=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20\)
>>詳細はこちらから
順列と組合せの違い
では、順列と組合せの違いはどんなところにあるのでしょうか?
『イメージで掴む違い』と、『公式から掴む違い』を書いていこうと思います。
順列と組合せ_イメージで掴む違い
順列










このように、複数人を選んだ上でそれぞれに役割を振る場合には、順列の考え方を使用します。
こちらの方が、より具体的に個人の役割が指定されています。
組合せ












このように、複数人を選んではいるが、\(3\) 人で同じものを運ぶため、役割には区別がないような場合は、組合せの考え方を使用します。
※ ノートの運ぶ冊数や重さが異なるというように、区別されるような事象は便宜上考えないものとします。
先程の順列と違い、こちらは人を選ぶだけでいいので、そこまで限定的な考え方ではありませんね。
順列と組合せ_公式から掴む違い
イメージで掴む違いでも示したように、選んだ後に「並べる」か「並べない」かが大きな違いです。
先程の例で言うならば、具体的に誰が何を運ぶのかを指定するか指定しないかです。
実際に例題を解きながら違いを見てみましょう。
例題)\(4\) 個の中から、\(2\) 個を選ぶ場合
① 選んだ後に並べる
② 選んだ後に並べない
この2つのパターンを考える。
順列
選んだ後に並べる。
\({}_4P_2=4\times 3=12\)
実際に選んで並べてみると、\(4\) 個のものを、\(A\), \(B\), \(C\), \(D\) とすると、


実際に並べてみても、\(12\) 通りになることがわかります。
組合せ
選んだ後に並べない。(選ぶだけ)
\({}_4C_2=\displaystyle\frac{{}_4P_2}{2!}=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6\)


まずは、順列のように \(12\) 通り並べてみる。
今回は、選んだ後に並べないので下半分は考えなくても良い。
このことを式に落とし込むと、
\({}_4C_2=\displaystyle\frac{{}_4P_2}{2!}=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6\)
順列のように \({}_4P_2\) 通り並べて、\(2!\)(選んだ個数の並び方)で割る。
おわりに
今回は、順列と組合せの違いを解説してきました。
イメージと公式の違い両方を理解しておくと良いでしょう。
さいごまで読んでいただきありがとうございました!
『統計の扉』で書いている記事
- 高校数学の解説
- 公務員試験の数学
- 統計学(統計検定2級レベル)
ぜひご覧ください!
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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。
”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。