【複素数平面】複素数平面とは？複素数平面の基本知識

複素数平面

複素数 $\alpha =a+bi$ を座標平面上の点 $A(a$,　$b)$ で表すとき、この平面を複素数平面という。また、複素数平面上で $\alpha =a+bi$ を表す点 $A$ を $A(\alpha )$,　$A(a+bi)$ または単に点 $\alpha$ と表す。

複素数の実数倍

$\alpha \ne 0$ のとき、$3$ 点 $0$,　$\alpha$,　$\beta$ が一直線上にある
$⟷$ $\beta =k\alpha$ ($k$ は実数)

複素数の加法、減法

$3$ 点 $O(0)$,　$A(\alpha )$,　$B(\beta )$ が一直線上にないとき

①　加法　$C(\alpha +\beta )$ は、原点 $O$ を点 $B$ に移す平行移動によって点 $A$ が移る点。
②　減法　$D(\alpha +\beta )$ は、点 $B$ を原点 $O$ に移す平行移動によって点 $A$ が移る点。

共役な複素数の性質

①　$\alpha$ が実数 $⟷$ $\bar{\alpha }=\alpha$
例）$\bar{2}=\overline{2+0i}=\bar{2}+\overline{0i}=2$

$\alpha$ が純虚数 $⟷$ $\bar{\alpha }=-\alpha$,　$\alpha \ne 0$
例）$\overline{3i}=\overline{0+3i}=\bar{0}-\overline{3i}=0-3i=-3i$

②　[1] $\alpha +\bar{\alpha }$ は実数
　　[2] $\overline{\alpha +\beta }=\bar{\alpha }+\bar{\beta }$
　　[3] $\overline{\alpha -\beta }=\bar{\alpha }-\bar{\beta }$
　　[4] $\overline{\alpha \beta }=\bar{\alpha }\bar{\beta }$
　　[5] $\overline{({\displaystyle \frac{\alpha }{\beta })}}={\displaystyle \frac{\bar{\alpha }}{\bar{\beta }}}$
　　[6] $\overline{\stackrel{―}{\alpha }}=\alpha$

絶対値と $2$ 点間の距離

① 複素数 $\alpha =a+bi$ に対し、$\sqrt{a^2+b^2}$ を $\alpha$ の絶対値といい、$|\alpha |$ で表す。

すなわち、$|\alpha |=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$

②　複素数の絶対値の性質

[1] $|z|=0$
[2] $|z|=|-z|=|\bar{z}|$　$z\bar{z}=|z{|}^2$
[3] $|\alpha \beta |=|\alpha ||\beta |$
[4] ${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }=\frac{|\alpha |}{|\beta |}}$　$(\beta \ne 0)$

③　$2$ 点 $\alpha$,　$\beta$ 間の距離は $|\beta -\alpha |$

（解説）

$\alpha \ne 0$ であるから、条件より

　$\beta =k\alpha$ $\cdots$ ①
　$\gamma =l\alpha$ $\cdots$ ②

となる実数 $k$,　$l$ がある。

① から $-2-4i=k(a+2i)$

よって、$-2=ka$,　$-4=2k$

これを解くと、$k=-2$,　$a=1$

② から $3+bi=l(a+2i)$

よって、$3=al$,　$b=2l$

これを解くと、$l=3$,　$b=6$

したがって、$a=1$,　$b=6$

（解説）

$|z+{\displaystyle \frac{1}{\overline{z}}{|}^2=(z+{\displaystyle \frac{1}{\bar{z}})(\overline{z+\frac{1}{\stackrel{―}{z}}})}}$

$=(z+{\displaystyle \frac{1}{\bar{z}})(\bar{z}+\frac{1}{z})}$

$=z\bar{z}+{\displaystyle \frac{1}{z\bar{z}}+2}$

ここで、$z\bar{z}=|z{|}^2=|1+i{|}^2=1^2+1^2=2$ であるから、

$|z+{\displaystyle \frac{1}{\overline{z}}{|}^2=2+{\displaystyle \frac{1}{2}+2=\frac{9}{2}}}$

よって、$|z+{\displaystyle \frac{1}{\overline{z}}|={\displaystyle 3\sqrt{2}}}$

（解説）

$2$ 点 $\alpha$,　$\beta$ 間の距離は $|\beta -\alpha |$

$A{B}^2=|(3+2i)-(-1+5i){|}^2$
　$=|4-3i{|}^2=4^2+(-3{)}^2=25$

$AB>0$ より　$AB=5$

　$|\alpha +\beta {|}^2$

$=(\alpha +\beta )(\overline{\alpha +\beta })=(\alpha +\beta )(\bar{\alpha }+\bar{\beta })$

$=\alpha \bar{\alpha }+\alpha \bar{\beta }+\bar{\alpha }\beta +\beta \bar{\beta }$

$=|\alpha {|}^2+\alpha \bar{\beta }+\bar{\alpha }\beta +|\beta {|}^2$ $\cdots$ ※

$|\alpha {|}^2$,　$\alpha \bar{\beta }+\bar{\alpha }\beta$,　$|\beta {|}^2$ の値を求める。

　$|\alpha -\beta {|}^2$

$=(\alpha -\beta )(\overline{\alpha -\beta })=(\alpha -\beta )(\bar{\alpha }-\bar{\beta })$

$=\alpha \bar{\alpha }-\alpha \bar{\beta }-\bar{\alpha }\beta +\beta \bar{\beta }$

$=|\alpha {|}^2-\alpha \bar{\beta }-\bar{\alpha }\beta +|\beta {|}^2$

条件より、$|\alpha {|}^2=|\beta {|}^2=|\alpha -\beta {|}^2=4$ であるから、

　$4=4-\alpha \bar{\beta }-\bar{\alpha }\beta +4$

ゆえに、$\alpha \bar{\beta }+\bar{\alpha }\beta =4$

※より、

　$|\alpha {|}^2+\alpha \bar{\beta }+\bar{\alpha }\beta +|\beta {|}^2$

$=4+4+4=12$

よって、$|\alpha +\beta |=2\sqrt{3}$