【複素数平面】複素数平面とは？複素数平面の基本知識

複素数平面

複素数 \(\alpha=a+bi\) を座標平面上の点 \(A(a\),　\(b)\) で表すとき、この平面を複素数平面という。また、複素数平面上で \(\alpha=a+bi\) を表す点 \(A\) を \(A(\alpha)\),　\(A(a+bi)\) または単に点 \(\alpha\) と表す。

複素数の実数倍

\(\alpha\neq 0\) のとき、\(3\) 点 \(0\),　\(\alpha\),　\(\beta\) が一直線上にある
\(\longleftrightarrow\) \(\beta=k\alpha\) (\(k\) は実数)

複素数の加法、減法

\(3\) 点 \(O(0)\),　\(A(\alpha)\),　\(B(\beta)\) が一直線上にないとき

①　加法　\(C(\alpha+\beta)\) は、原点 \(O\) を点 \(B\) に移す平行移動によって点 \(A\) が移る点。
②　減法　\(D(\alpha+\beta)\) は、点 \(B\) を原点 \(O\) に移す平行移動によって点 \(A\) が移る点。

共役な複素数の性質

①　\(\alpha\) が実数 \(\longleftrightarrow\) \(\overline{\alpha}=\alpha\)
例）\(\overline{2}=\overline{2+0i}=\overline{2}+\overline{0i}=2\)

\(\alpha\) が純虚数 \(\longleftrightarrow\) \(\overline{\alpha}=-\alpha\),　\(\alpha\neq 0\)
例）\(\overline{3i}=\overline{0+3i}=\overline{0}-\overline{3i}=0-3i=-3i\)

②　[1] \(\alpha+\overline{\alpha}\) は実数
　　[2] \(\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}\)
　　[3] \(\overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta}\)
　　[4] \(\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}\)
　　[5] \(\overline{\big(\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}\big)}=\displaystyle\frac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}\)
　　[6] \(\overline{\overline{\alpha}}=\alpha\)

絶対値と \(2\) 点間の距離

① 複素数 \(\alpha=a+bi\) に対し、\(\sqrt{a^2+b^2}\) を \(\alpha\) の絶対値といい、\(|\alpha|\) で表す。

すなわち、\(|\alpha|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}\)

②　複素数の絶対値の性質

[1] \(|z|=0\)
[2] \(|z|=|-z|=|\overline{z}|\)　\(z\overline{z}=|z|^2\)
[3] \(|\alpha\beta|=|\alpha||\beta|\)
[4] \(\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}=\frac{|\alpha|}{|\beta|}\)　\((\beta\neq 0)\)

③　\(2\) 点 \(\alpha\),　\(\beta\) 間の距離は \(|\beta-\alpha|\)

（解説）

\(\alpha\neq 0\) であるから、条件より

　\(\beta=k\alpha\) \(\cdots\) ①
　\(\gamma=l\alpha\) \(\cdots\) ②

となる実数 \(k\),　\(l\) がある。

① から \(-2-4i=k(a+2i)\)

よって、\(-2=ka\),　\(-4=2k\)

これを解くと、\(k=-2\),　\(a=1\)

② から \(3+bi=l(a+2i)\)

よって、\(3=al\),　\(b=2l\)

これを解くと、\(l=3\),　\(b=6\)

したがって、\(a=1\),　\(b=6\)

（解説）

\(\big|z+\displaystyle\frac{1}{\bar{z}}\big|^2=\big(z+\displaystyle\frac{1}{\overline{z}}\big)\big(\overline{z+\frac{1}{\overline{z}}}\big)\)

\(=\big(z+\displaystyle\frac{1}{\overline{z}}\big)\big(\overline{z}+\frac{1}{z}\big)\)

\(=z\overline{z}+\displaystyle\frac{1}{z\overline{z}}+2\)

ここで、\(z\overline{z}=|z|^2=|1+i|^2=1^2+1^2=2\) であるから、

\(\big|z+\displaystyle\frac{1}{\bar{z}}\big|^2=2+\displaystyle\frac{1}{2}+2=\frac{9}{2}\)

よって、\(\big|z+\displaystyle\frac{1}{\bar{z}}\big|=\displaystyle{3}{\sqrt{2}}\)

（解説）

\(2\) 点 \(\alpha\),　\(\beta\) 間の距離は \(|\beta-\alpha|\)

\(AB^2=|(3+2i)-(-1+5i)|^2\)
　\(=|4-3i|^2=4^2+(-3)^2=25\)

\(AB>0\) より　\(AB=5\)

　\(|\alpha+\beta|^2\)

\(=(\alpha+\beta)(\overline{\alpha+\beta})=(\alpha+\beta)(\overline{\alpha}+\overline{\beta})\)

\(=\alpha\overline{\alpha}+\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta+\beta\overline{\beta}\)

\(=|\alpha|^2+\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta+|\beta|^2\) \(\cdots\) ※

\(|\alpha|^2\),　\(\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta\),　\(|\beta|^2\) の値を求める。

　\(|\alpha-\beta|^2\)

\(=(\alpha-\beta)(\overline{\alpha-\beta})=(\alpha-\beta)(\overline{\alpha}-\overline{\beta})\)

\(=\alpha\overline{\alpha}-\alpha\overline{\beta}-\overline{\alpha}\beta+\beta\overline{\beta}\)

\(=|\alpha|^2-\alpha\overline{\beta}-\overline{\alpha}\beta+|\beta|^2\)

条件より、\(|\alpha|^2=|\beta|^2=|\alpha-\beta|^2=4\) であるから、

　\(4=4-\alpha\overline{\beta}-\overline{\alpha}\beta+4\)

ゆえに、\(\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta=4\)

※より、

　\(|\alpha|^2+\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta+|\beta|^2\)

\(=4+4+4=12\)

よって、\(|\alpha+\beta|=2\sqrt{3}\)