【複素数平面】複素数の乗法と回転

（考え方）

$z=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$,　$z^{\prime }=r(\cos \theta +i\sin \theta )\cdot z$ とし、$P(z)$,　$P^{\prime }(z^{\prime })$ とする。

$z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$,　$z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$ とするとき、

・$z_1{z}_2=r_1{r}_2\{\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\}$

・$|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$

・$\arg (z_1{z}_2)=\arg z_1+\arg z_2$

長さは掛け算されて、偏角は足し算されます！

上記より、

$z^{\prime }=r(\cos \theta +i\sin \theta )\cdot z$

　$=r(\cos \theta +i\sin \theta )\times r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$

　$=r{r}_1\{\cos (\theta +{\theta }_1)+i\sin (\theta +{\theta }_1)\}$

よって、$|z^{\prime }|=r{r}_1$,　$\arg z^{\prime }={\theta }_1+\theta$

したがって、点 $P^{\prime }(z^{\prime })$ は、点 $P$ を原点 $O$ を中心として角 $\theta$ だけ回転し、更に $OP$ を $r$ 倍拡大（または縮小）した点である。

特に、$iz$ は、点 $z$ を原点を中心として ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ だけ回転した点である。

（問題）

(1)　$z=2-6i$ とする。点 $z$ を、原点を中心として次の角だけ回転した点を表す複素数を求めよ。

　(ア)　${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

　(イ)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

(2)　点 $(1-i)z$ は、点 $z$ をどのように移動した点であるか。

（解説）

(ア)　${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

　$(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6})\cdot z=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)(2-6i)}}$

$=\sqrt{3}-3\sqrt{3}i+i+3$

$=3+\sqrt{3}+(1-3\sqrt{3})i$

(イ)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

　$\{\cos (-{\displaystyle \frac{\pi }{2})+i\sin (-\frac{\pi }{2})\}\cdot z=(0-i\times 1)(2-6i)}$

$=-6-2i$

(2)　点 $(1-i)z$ は、点 $z$ をどのように移動した点であるか。

　$(1-i)z=\sqrt{2}(\cos {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}+i\sin \frac{1}{\sqrt{2}})z}$

$=\sqrt{2}\{\cos (-{\displaystyle \frac{\pi }{\sqrt{4}})+i\sin (-\frac{\pi }{4})\}z}$

よって、点 $(1-i)z$ は点 $z$ を、原点を中心として $-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ だけ回転し、原点からの距離を $\sqrt{2}$ 倍した点である。