【複素数平面】ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理

今回は複素数を $2$ 乗、$3$ 乗したときにどういう振る舞いをするかを解説していきます。

直感的に理解できる振る舞いをするので安心して読んでいってくださいね！

ド・モアブルの定理（問題）

（解説）

(1)　$(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12}{)}^9}$

　$(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12}{)}^9}$

$=\cos (9\times {\displaystyle \frac{\pi }{12})+i\sin (9\times \frac{\pi }{12})}$

$=\cos {\displaystyle \frac{3}{4}\pi +i\sin \frac{3}{4}\pi }$

${\displaystyle \frac{3}{4}\pi ={135}^{\circ }}$

$=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i}$

(2)　$(1+\sqrt{3}i{)}^6$

${\displaystyle \frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}}$,　${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}}$ を目指して式変形していく。

　$1+\sqrt{3}i=2({\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)}$

$=2(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})}$

よって、

　$(1+\sqrt{3}i{)}^6$

$=\{2({\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i){\}}^6}$

$=\{2(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}){\}}^6}$

$=2^6\{\cos (6\times {\displaystyle \frac{\pi }{3})+i\sin (6\times \frac{\pi }{3})\}}$

$=2^6(\cos 2\pi +i\sin 2\pi )=2^6\cdot 1=64$

(3)　${\displaystyle \frac{1}{(1-i{)}^{10}}}$

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \frac{\pi }{4}}$,　${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi }{4}}$ を目指して式変形していく。

　$1-i=\sqrt{2}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i)}$

$=\sqrt{2}\{\cos (-{\displaystyle \frac{\pi }{4})+i\sin (-\frac{\pi }{4})\}}$

よって、

　${\displaystyle \frac{1}{(1-i{)}^{10}}=(1-i{)}^{-10}}$

$=2^{-5}(\cos {\displaystyle \frac{5}{2}\pi +i\sin \frac{5}{2}\pi )=2^{-5}\cdot i={\displaystyle \frac{1}{32}i}}$

おわりに