【場合の数】「９人を３人ずつ３組に分ける」並べるのか並べないのか

9人を3人ずつ3組に分ける

今回は $9$ 人を $3$ 人の $3$ 組に分ける組合せの問題です。

$9$ 人を $3$ 人に分けるときの注意点は、分けた $3$ 人組のグループ $3$ つを並べるかどうかです。

次の①と②を見てみましょう。

①と②は計算方法が異なります。以上の注意点を意識しながら問題を見てましょう！

3人ずつ3組に分ける(問題)

$9$ 人を次のように分ける方法は何通りあるか？

( $1$ )　$3$ 人ずつ $A$,　$B$,　$C$ の $3$ グループに分ける

( $2$ )　$3$ 人ずつ $3$ グループに分ける

3人ずつ3組に分ける(答案の例)

( $1$ )

$9$ 人から $3$ 人を選ぶ方法は、${}_9{C}_3$

残り $6$ 人から $3$ 人を選ぶ方法は、${}_6{C}_3$

残り $3$ 人から $3$ 人を選ぶ方法は、${}_3{C}_3$

よって、

　${}_9{C}_3\times {}_6{C}_3\times {}_3{C}_3=1680$

( $2$ )

　${}_9{C}_3\times {}_6{C}_3\times {}_3{C}_3÷3!=1680÷6=280$

3人ずつ3組に分ける(解説)

( $1$ )

まず解く際に、日常的なイメージを添えて考えていきましょう。

$9$ 人の生徒が、$A$ 、$B$ 、$C$ の $3$ グループに分かれて午後から球技大会をします。お昼ご飯を食べるところから球技大会の日程が始まりますが、次の条件のもと、それぞれがお昼ご飯を獲得できることとします。

この場合、誰と一緒のグループになるかというドキドキのほかに、どのタイミングで選ばれるかもとても重要になってきます。

たとえば、焼肉弁当が食べたいなら、あなたは最初の $3$ 人に選ばれることを祈るでしょう。

球技大会前日、帰りの会にて、先生が生徒の名前が書かれた紙が入った箱をもって、教室に現れます。

いよいよグループのメンバーとお昼ご飯が決定するときです！

まず、 $9$ 人の中から同時に $3$ 人をランダムに選び出し、${}_9{C}_3$

この生徒たちは焼肉弁当組です。

次に、残った $6$ 人の中から同時に $3$ 人をランダムに選び出し、${}_6{C}_3$

この生徒たちは焼き魚定食組です。

最後に、残った $3$ 人の中から同時に $3$ 人をランダムに選び出し、${}_3{C}_3$

（選ぶ必要はありませんが、一応式を書いておきますね）

この生徒たちは親子どんぶり組です。

つまり、上記の $3$ つを掛け合わせ、

　${}_9{C}_3\times {}_6{C}_3\times {}_3{C}_3=1680$

となります。

( $2$ )

（ $1$ ）と同じシチュエーションで考えていきましょう。

しかし今回は少し状況が異なり、午後から始まることは同じなのですが、お昼ご飯を各自で食べてからの開催とします。

つまり気になるのは、誰が同じグループのメンバーになるかだけです。

よって（ $2$ ）の場合、（ $1$ ）では別々のものだと認識されていた、最初に選ばれる、最後まで残るといった順番が関係なくなり、考える必要がなくなります。

つまり、 $9$ 人を $a$,　$b$,　$c$,　$d$,　$e$,　$f$,　$g$,　$h$,　$i$ と置くと、たとえば選ばれる順番を考慮した、

最初,　 次,　 最後

①　$abc$,　$def$,　$ghi$ 　

②　$abc$,　$ghi$,　$def$

③　$def$,　$abc$,　$ghi$

④　$def$,　$ghi$,　$abc$

⑤　$ghi$,　$abc$,　$def$

⑥　$ghi$,　$def$,　$abc$

という①〜⑥は、全て同じ並び順と考えることができるわけです。

これは、$abc$,　$def$,　$ghi$ のかたまりをランダムに並べている作業に等しいため、$3!$ 通りのパターンがあると導くことができます。

こういった被りは、$abc$,　$def$,　$ghi$ の組み合わせ以外にもあり、それぞれが $3!$ 通りだけあることになります。

よって、（ $1$ ）の結果からこれらの被りを削り、

　${}_9{C}_3\times {}_6{C}_3\times {}_3{C}_3÷3!=1680÷6=280$

が最終的な答えとなります。

おわりに

今回は、 $9$ 人を $3$ 人の $3$ 組に分ける組合せの問題でした。

組合せに似たものに「順列」という単元もあります。

この二つの違いを明確にするのが、場合の数の最初の難関になると思います。