【場合の数】「９人を３人ずつ３組に分ける」並べるのか並べないのか

9人を3人ずつ3組に分ける

今回は \(9\) 人を \(3\) 人の \(3\) 組に分ける組合せの問題です。

\(9\) 人を \(3\) 人に分けるときの注意点は、分けた \(3\) 人組のグループ \(3\) つを並べるかどうかです。

次の①と②を見てみましょう。

①と②は計算方法が異なります。以上の注意点を意識しながら問題を見てましょう！

3人ずつ3組に分ける(問題)

\(9\) 人を次のように分ける方法は何通りあるか？

( \(1\) )　\(3\) 人ずつ \(A\),　\(B\),　\(C\) の \(3\) グループに分ける

( \(2\) )　\(3\) 人ずつ \(3\) グループに分ける

3人ずつ3組に分ける(答案の例)

( \(1\) )

\(9\) 人から \(3\) 人を選ぶ方法は、\({}_9C_3\)

残り \(6\) 人から \(3\) 人を選ぶ方法は、\({}_6C_3\)

残り \(3\) 人から \(3\) 人を選ぶ方法は、\({}_3C_3\)

よって、

　\({}_9C_3\times {}_6C_3\times {}_3C_3=1680\)

( \(2\) )

　\({}_9C_3\times {}_6C_3\times {}_3C_3\div 3!=1680\div 6=280\)

3人ずつ3組に分ける(解説)

( \(1\) )

まず解く際に、日常的なイメージを添えて考えていきましょう。

\(9\) 人の生徒が、\(A\) 、\(B\) 、\(C\) の \(3\) グループに分かれて午後から球技大会をします。お昼ご飯を食べるところから球技大会の日程が始まりますが、次の条件のもと、それぞれがお昼ご飯を獲得できることとします。

この場合、誰と一緒のグループになるかというドキドキのほかに、どのタイミングで選ばれるかもとても重要になってきます。

たとえば、焼肉弁当が食べたいなら、あなたは最初の \(3\) 人に選ばれることを祈るでしょう。

球技大会前日、帰りの会にて、先生が生徒の名前が書かれた紙が入った箱をもって、教室に現れます。

いよいよグループのメンバーとお昼ご飯が決定するときです！

まず、 \(9\) 人の中から同時に \(3\) 人をランダムに選び出し、\({}_9C_3\)

この生徒たちは焼肉弁当組です。

次に、残った \(6\) 人の中から同時に \(3\) 人をランダムに選び出し、\({}_6C_3\)

この生徒たちは焼き魚定食組です。

最後に、残った \(3\) 人の中から同時に \(3\) 人をランダムに選び出し、\({}_3C_3\)

（選ぶ必要はありませんが、一応式を書いておきますね）

この生徒たちは親子どんぶり組です。

つまり、上記の \(3\) つを掛け合わせ、

　\({}_9C_3\times {}_6C_3\times {}_3C_3=1680\)

となります。

( \(2\) )

（ \(1\) ）と同じシチュエーションで考えていきましょう。

しかし今回は少し状況が異なり、午後から始まることは同じなのですが、お昼ご飯を各自で食べてからの開催とします。

つまり気になるのは、誰が同じグループのメンバーになるかだけです。

よって（ \(2\) ）の場合、（ \(1\) ）では別々のものだと認識されていた、最初に選ばれる、最後まで残るといった順番が関係なくなり、考える必要がなくなります。

つまり、 \(9\) 人を \(a\),　\(b\),　\(c\),　\(d\),　\(e\),　\(f\),　\(g\),　\(h\),　\(i\) と置くと、たとえば選ばれる順番を考慮した、

最初,　 次,　 最後

①　\(abc\),　\(def\),　\(ghi\) 　

②　\(abc\),　\(ghi\),　\(def\)

③　\(def\),　\(abc\),　\(ghi\)

④　\(def\),　\(ghi\),　\(abc\)

⑤　\(ghi\),　\(abc\),　\(def\)

⑥　\(ghi\),　\(def\),　\(abc\)

という①〜⑥は、全て同じ並び順と考えることができるわけです。

これは、\(abc\),　\(def\),　\(ghi\) のかたまりをランダムに並べている作業に等しいため、\(3!\) 通りのパターンがあると導くことができます。

こういった被りは、\(abc\),　\(def\),　\(ghi\) の組み合わせ以外にもあり、それぞれが \(3!\) 通りだけあることになります。

よって、（ \(1\) ）の結果からこれらの被りを削り、

　\({}_9C_3\times {}_6C_3\times {}_3C_3\div 3!=1680\div 6=280\)

が最終的な答えとなります。

おわりに

今回は、 \(9\) 人を \(3\) 人の \(3\) 組に分ける組合せの問題でした。

組合せに似たものに「順列」という単元もあります。

この二つの違いを明確にするのが、場合の数の最初の難関になると思います。