順列と組合せの違いを解説！「イメージによる解説」と「公式から読み解く解説」

順列と組合せ

今回は、順列と組合せの違い解説していきます。

順列と組合せといえば、場合の数や確率を解く上で欠かせない単元ですね！

それぞれこんな感じの計算をしますね。

まだ計算の詳細はわからなくても大丈夫です。それぞれ、

の部分が違いますね。

この２つの公式を見てもなかなか違いに気づけないものです。

今回は、イメージで違いを掴む方法と簡単な例に当てはめて違いを掴む方法の２つの方法を使って説明していこうと思います！
実際に問題を解きたい方は以下の記事をチェック！

順列の定義

例）

\({}_5P_3=5\times 4\times 3=60\)

\({}_6P_2=6\times 5=30\)

組合せの定義

例）

\({}_4C_2=\displaystyle\frac{{}_4P_2}{2!}=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6\)

\({}_6C_3=\displaystyle\frac{{}_6P_3}{3!}=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20\)

順列と組合せの違い

では、順列と組合せの違いはどんなところにあるのでしょうか？

『イメージで掴む違い』と、『公式から掴む違い』を書いていこうと思います。

順列と組合せ_イメージで掴む違い

順列

このように、複数人を選んだ上でそれぞれに役割を振る場合には、順列の考え方を使用します。

こちらの方が、より具体的に個人の役割が指定されています。

組合せ

このように、複数人を選んではいるが、\(3\) 人で同じものを運ぶため、役割には区別がないような場合は、組合せの考え方を使用します。

※　ノートの運ぶ冊数や重さが異なるというように、区別されるような事象は便宜上考えないものとします。

先程の順列と違い、こちらは人を選ぶだけでいいので、そこまで限定的な考え方ではありませんね。

順列と組合せ_公式から掴む違い

イメージで掴む違いでも示したように、選んだ後に「並べる」か「並べない」かが大きな違いです。

先程の例で言うならば、具体的に誰が何を運ぶのかを指定するか指定しないかです。

実際に例題を解きながら違いを見てみましょう。

例題）\(4\) 個の中から、\(2\) 個を選ぶ場合

この２つのパターンを考える。

順列

選んだ後に並べる。

\({}_4P_2=4\times 3=12\)

実際に選んで並べてみると、\(4\) 個のものを、\(A\),　\(B\),　\(C\),　\(D\) とすると、

実際に並べてみても、\(12\) 通りになることがわかります。

組合せ

選んだ後に並べない。（選ぶだけ）

\({}_4C_2=\displaystyle\frac{{}_4P_2}{2!}=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6\)

まずは、順列のように \(12\) 通り並べてみる。

今回は、選んだ後に並べないので下半分は考えなくても良い。

このことを式に落とし込むと、

\({}_4C_2=\displaystyle\frac{{}_4P_2}{2!}=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6\)

順列のように \({}_4P_2\) 通り並べて、\(2!\)（選んだ個数の並び方）で割る。

おわりに

今回は、順列と組合せの違いを解説してきました。

イメージと公式の違い両方を理解しておくと良いでしょう。