順列と組合せの違いを解説！「イメージによる解説」と「公式から読み解く解説」

順列と組合せ

今回は、順列と組合せの違い解説していきます。

順列と組合せといえば、場合の数や確率を解く上で欠かせない単元ですね！

それぞれこんな感じの計算をしますね。

まだ計算の詳細はわからなくても大丈夫です。それぞれ、

の部分が違いますね。

この２つの公式を見てもなかなか違いに気づけないものです。

今回は、イメージで違いを掴む方法と簡単な例に当てはめて違いを掴む方法の２つの方法を使って説明していこうと思います！
実際に問題を解きたい方は以下の記事をチェック！

順列の定義

例）

${}_5{P}_3=5\times 4\times 3=60$

${}_6{P}_2=6\times 5=30$

組合せの定義

例）

${}_4{C}_2={\displaystyle \frac{{}_4{P}_2}{2!}=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6}$

${}_6{C}_3={\displaystyle \frac{{}_6{P}_3}{3!}=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20}$

順列と組合せの違い

では、順列と組合せの違いはどんなところにあるのでしょうか？

『イメージで掴む違い』と、『公式から掴む違い』を書いていこうと思います。

順列と組合せ_イメージで掴む違い

順列

このように、複数人を選んだ上でそれぞれに役割を振る場合には、順列の考え方を使用します。

こちらの方が、より具体的に個人の役割が指定されています。

組合せ

このように、複数人を選んではいるが、$3$ 人で同じものを運ぶため、役割には区別がないような場合は、組合せの考え方を使用します。

※　ノートの運ぶ冊数や重さが異なるというように、区別されるような事象は便宜上考えないものとします。

先程の順列と違い、こちらは人を選ぶだけでいいので、そこまで限定的な考え方ではありませんね。

順列と組合せ_公式から掴む違い

イメージで掴む違いでも示したように、選んだ後に「並べる」か「並べない」かが大きな違いです。

先程の例で言うならば、具体的に誰が何を運ぶのかを指定するか指定しないかです。

実際に例題を解きながら違いを見てみましょう。

例題）$4$ 個の中から、$2$ 個を選ぶ場合

この２つのパターンを考える。

順列

選んだ後に並べる。

${}_4{P}_2=4\times 3=12$

実際に選んで並べてみると、$4$ 個のものを、$A$,　$B$,　$C$,　$D$ とすると、

実際に並べてみても、$12$ 通りになることがわかります。

組合せ

選んだ後に並べない。（選ぶだけ）

${}_4{C}_2={\displaystyle \frac{{}_4{P}_2}{2!}=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6}$

まずは、順列のように $12$ 通り並べてみる。

今回は、選んだ後に並べないので下半分は考えなくても良い。

このことを式に落とし込むと、

${}_4{C}_2={\displaystyle \frac{{}_4{P}_2}{2!}=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6}$

順列のように ${}_4{P}_2$ 通り並べて、$2!$（選んだ個数の並び方）で割る。

おわりに

今回は、順列と組合せの違いを解説してきました。

イメージと公式の違い両方を理解しておくと良いでしょう。