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【三角比】三角比の定義を教科書よりもわかりやすく解説

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今回は『三角比の定義をわかりやすく解説しようと思います!

三角比の定義には 2 種類ありますが覚えられていますでしょうか?

① 三角形を用いた定義
② 座標平面を用いた定義

三角形を用いた定義だけだと、角度が 90 を超える場合や三角関数(一般的に高校2年生に学習する)を扱う際に困ります。

今回は、三角形の定義を確認した後に、もっと拡張させた定義を解説していきます。ぜひ最後まで読んでみてください!

三角比の定義

三角形を用いた三角比の定義

直角三角形を用いた定義

f:id:smohisano:20210727194523p:plain

sinθ=bc

cosθ=ac

tanθ=ab

それぞれの式を変形した以下の式も覚えておくと良いです!

b=csinθ

a=ccosθ

b=atanθ

<例題>

f:id:smohisano:20210727194614p:plain

図の b を求める問題の時、

b=csinθ より b=8sin30 となる。

よって、

b=8×12=4

このように変形した式も覚えておくと便利です。

三角形を用いた定義の問題点

次のような三角比はどう考えればよいでしょうか?

 sin120

三角形の定義に当てはめようとしても作ることができません。

f:id:smohisano:20210727194930p:plain

左図のように、120 を作ろうとすると、直角三角形を作れませんし、右図のように、直角三角形を作ろうとすると、120 を作れません。

三角形の内角の和は 90 である関係上難しいのですね…

このように、三角形を用いた三角比の定義だと、θ が 90 を超える時に対応することが出来ないのです。θ120 を超えても対応することができるように三角比の定義を拡張する必要があります。

三角比の定義の拡張

θ90 を超えた場合、つまり三角形で表すことができない場合を解決するのが、座標を用いた三角比の定義です。この定義をしっかりと押さえておけば、

0θ<360 のとき、

例題①) sin225 を解け

例題②) sinθ=12 を解け

例題③) cosθ>12 を解け

上記のような問題も、ただ解けるだけでなく100%理解した上で解くことができるようになります。解説は下部にありますので、一度座標を用いた定義の説明に目を通した上で、解説も見てみてください。

では、定義はこちらです。

座標を用いた三角比の定義

座標を用いた三角比の定義

f:id:smohisano:20210731173936p:plain

sinθ=yr

cosθ=xr

tanθ=yx

f:id:smohisano:20210731174143p:plain

左図や右図のように、θ90180 を超えても対応可能となります。

また、半径 r は常に正なので、サイン、コサインは共に分子によって正負が決まります。

sinθ=yr を見ると、y 座標により、正負が決まります。

(左図では正、右図では負)

cosθ=xr を見ると、x 座標により、正負が決まります。

(左図でも右図でも負)

例題の解説

0θ<360 のとき、

例題①) sin225 を解け

例題②) sinθ=12 を解け

例題③) cosθ>12 を解け

例題① の解説

225 の部分に動径を描く。

※ 動径とは、図で言う青線のことです。

f:id:smohisano:20210730163241p:plain

円と動径の交点から x 軸に垂線を引く。そうすると、90, 45, 45 の直角三角形が描ける。

f:id:smohisano:20210730163212p:plain

90, 45, 45 の直角三角形なので、辺の比は 1:1:2 と描ける。

f:id:smohisano:20210730162253p:plain

sinθ の定義は、sinθ=xr なので、図を見ると、

sin225=12=12

例題② の解説

sinθ=yr=12=12 より y=1, r=2 (※ r は絶対に正)

この情報を元に、図を描きます。

y=1 の直線を引く。

f:id:smohisano:20210730164142p:plain

原点から y=1 と円の交点に動径を引く。

そうすると、1:2:3 の三角形が描ける。

f:id:smohisano:20210730164207p:plain

1:2:3 の三角形なので、図のように原点側の角度は、30 となる。

f:id:smohisano:20210730162318p:plain

赤い線が答えとなるので、180+30=210270+60=330 となる。

※ 90, 180, 270 の部分を基準にすると、わかりやすいです。

例題③ の解説

cosθ=xr=12=12 より x=1, r=2

※ r=2 は絶対に正

x=1 の直線を引く。

f:id:smohisano:20210730165228p:plain

原点から x=1 と円の交点に動径を引く。

そうすると、1:2:3 の三角形が描ける。

f:id:smohisano:20210730165310p:plain

1:2:3 の三角形なので、図のように原点側の角度は、60 となる。

また、今回は不等式なのでさらに考えないといけないことがある。

cosθ>12 を言い換えると、12 より大きくなるような θ を求める。さらに言い換えると、(分母の 2 は半径で、常に大きさが変わらないので、分子の x 座標 1 に着目すれば良いので、)x 座標が 1 より大きくなるような θ を求める。

よって、緑の部分となる。

f:id:smohisano:20210730162341p:plain

図より、0θ120, 240θ<360

120=90+30, 240=180+60

おまけ(サイン0°とかコサイン0°とか)

座標を使った定義を使えば、

sin0, cos0,

sin90, cos90,

sin180, cos180,

sin270, cos270

も容易に計算することができる。

サイン0°、コサイン0°

f:id:smohisano:20210731180820p:plain

図より、sinθ=yr=01=0, cosθ=xr=11=1

サイン90°、コサイン90°

f:id:smohisano:20210731180848p:plain

図より、sinθ=yr=11=1, cosθ=xr=01=0

サイン180°、コサイン180°

f:id:smohisano:20210731180913p:plain

図より、sinθ=yr=01=0, cosθ=xr=11=1

サイン270°、コサイン270°

f:id:smohisano:20210731180944p:plain

図より、sinθ=yr=11=1, cosθ=xr=01=0

おわりに

今回は、三角比の定義を教科書よりもわかりやすく解説してみました。

教科書だと、単位円(半径が必ず 1 )を使って解いていきます。しかし、今回紹介したように、半径を変動させることによってわかりやすくなる人もいるかもしれません!

さいごまで読んでいただきありがとうございました!

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。

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