【整数の性質】根号が外れるような自然数を求める

整数となるような自然数 $n$

今回は、整数問題の基本が詰まった問題です。

整数の性質の中でも、基本的な考え方が詰まった問題です。

基本的な考え方を解説する前に一つ問題です。

以上のような値になるのは理解できますでしょうか？

では、これをもう少し公式っぽくしてみましょう！

整数問題で気をつけたい２点

①　よく使う公式はしっかりと覚える
②　扱う数の体系（種類）

↓数字の体系がピンとこない方はこちらをチェックしてみてください。

整数となるような自然数 $n$ を見つける問題

$\sqrt{n^2+40}$ が自然数となるような自然数 $n$ を全て求めよ。

答案の例

$\sqrt{n^2+40}=m$ とおく

$n^2+40=m^2$
$m^2-n^2=40$
$(m+n)(m-n)=40$

よって、

$(m+n$,　$m-n)$
$=(1$,　$40)$,　$(2$,　$20)$,　$(4$,　$10)$,　$(5$,　$8)$,
$(8$,　$5)$,　$(10$,　$4)$,　$(20$,　$2)$,　$(40$,　$1)$,
$(-1$,　$-40)$,　$(-2$,　$-20)$,　$(-4$,　$-10)$,　$(-5$,　$-8)$,
$(-8$,　$-5)$,　$(-10$,　$-4)$,　$(-20$,　$-2)$,　$(-40$,　$-1)$

ここで、$40=(m+n)(m-n)>0$ より

（$m+n>0$ かつ $m-n>0$）または、（$m+n<0$ かつ $m-n<0$）

$m$,　$n$ は自然数より、$m+n<0$ ではないので、（$m+n>0$ かつ $m-n>0$）$\cdots$ ①

さらに、$m+n>m-n$ $\cdots$ ②

①,　② より$m+n>m-n>0$

したがって、

$(m+n$,　$m-n)$
$=(8$,　$5)$,　$(10$,　$4)$,　$(20$,　$2)$,　$(40$,　$1)$

$\{\begin{array}{l}m+n=8\\ m-n=5\end{array}$,　$\{\begin{array}{l}m+n=10\\ m-n=4\end{array}$,
$\{\begin{array}{l}m+n=20\\ m-n=2\end{array}$,　$\{\begin{array}{l}m+n=40\\ m-n=1\end{array}$

となり、それぞれを解くと、

$(m$,　$n)$ $=({\displaystyle \frac{41}{2}}$,　${\displaystyle \frac{39}{2})}$,　$(11$,　$9)$,　$(7$,　$3)$,　$({\displaystyle \frac{13}{2}}$,　${\displaystyle \frac{3}{2})}$

$n$ は自然数より $n=9$,　$3$

解説

今回の問題は、いくつかのステップを組み合わせて解いていますので、一つずつ区切りながら説明していきます。

◯ $\times$ △ $=$ （整数）の形を目指す

そして、式を整理して因数分解すると、

$m^2-n^2=40$
$(m+n)(m-n)=40$

となります。ここまでで第一ステップの完了です。

$m+n$,　$m-n$ の組み合わせを考える

求めたいのは自然数 $n$ ですが、$m+n$,　$m-n$ が自然数となるかはまだわかりません。

自然数どうしの引き算でも、$m-n=2-5=-3$ のような場合がありますよね。

ひとまず、一旦整数として当てはまる数を考えてみましょう。

$(m+n$,　$m-n)$
$=(1$,　$40)$,　$(2$,　$20)$,　$(4$,　$10)$,　$(5$,　$8)$,
$(8$,　$5)$,　$(10$,　$4)$,　$(20$,　$2)$,　$(40$,　$1)$,
$(-1$,　$-40)$,　$(-2$,　$-20)$,　$(-4$,　$-10)$,　$(-5$,　$-8)$,
$(-8$,　$-5)$,　$(-10$,　$-4)$,　$(-20$,　$-2)$,　$(-40$,　$-1)$

ここで、$m+n$ と $m-n$ の条件を整理すると、$40$ が正の数なので、 $(m+n)(m-n)>0$ となります。よって、掛けたら正の数になる組み合わせは、

（$m+n>0$ かつ $m-n>0$） または、（$m+n<0$ かつ $m-n<0$）

ここで条件に当てはまらないものが一つあります。$m$,　$n$ は自然数より、足したら必ず正の数にはなるはずですね。

つまり、$m+n<0$ ではないということになります。

よって、（$m+n>0$ かつ $m-n>0$）$\cdots$ ①

さらに、同じ数を足した場合と引いた場合では、足した場合の方が大きくなるため、

$m+n>m-n$ $\cdots$ ② となります。

①,　② より、$m+n>m-n>0$

以上を踏まえると、$m+n$,　$m-n$ の組み合わせは、

$(m+n$,　$m-n)$
$=(8$,　$5)$,　$(10$,　$4)$,　$(20$,　$2)$,　$(40$,　$1)$

と絞ることができます。

それぞれの連立方程式を解く

上の候補をすべて連立方程式にすると、

$\{\begin{array}{l}m+n=8\\ m-n=5\end{array}$,　$\{\begin{array}{l}m+n=10\\ m-n=4\end{array}$,
$\{\begin{array}{l}m+n=20\\ m-n=2\end{array}$,　$\{\begin{array}{l}m+n=40\\ m-n=1\end{array}$

となり、それぞれを解くと、

$(m$,　$n)$
$=({\displaystyle \frac{41}{2}}$,　${\displaystyle \frac{39}{2})}$,　$(11$,　$9)$,　$(7$,　$3)$,　$({\displaystyle \frac{13}{2}}$,　${\displaystyle \frac{3}{2})}$

となります。

最後に、$m$ や $n$ は自然数であるという条件を使い、$n=9$,　$3$

おわりに

今回は、整数問題の基本が詰まった問題でした。