【図形と方程式】直線の方程式｜定点と傾きから求める

直線の方程式

今回は直線の方程式を求める問題です！

直線は中学校の時にも扱った内容です。

これが中学までのやり方です。しかし、この方法だと途中式が多く時間がかかりすぎます。そこで、高校数学では同じ問題をよりスムーズに解く方法を学びます。

↓高校で習う直線の方程式の求め方

条件は中学の時と同じですが、条件を一気に当てはめて解くことにより解くスピードが上がります。高校数学はスピードが大切なので、「中学の時のやり方でいいや〜」ではなくて、しっかりとこっちのやり方に慣れましょう！

問題文を見て、どのパターンに当てはまるのかを考えましょう。これらの条件が与えられていない時でも、これらの条件を導くところから始まります。

直線の方程式（問題）

$2$ 直線 $x+y-4=0$ $\cdots$ ①,　$2x-y+1$ $\cdots$② の交点を通り、点 $(-1$,　$2)$ を通る直線の方程式を求めよ。

答案の例

$\{\begin{array}{l}x+y-4=0\cdots (i)\\ 2x-y+1=0\cdots (ii)\end{array}$

$(i)+(ii)$ より

　$3x-3=0$
　$x=1$

$(i)$ に代入

　$1+y-4=0$
　$y=3$

交点 $(1$,　$3)$

よって、$(1$,　$3)$ と $(-1$,　$2)$ を通ることがわかったので、$y-3={\displaystyle \frac{3-2}{1-(-1)}(x-1)}$

したがって、

$y-3={\displaystyle \frac{1}{2}(x-1)}$
$y-3={\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}$
$y={\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+3}$
$y={\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+\frac{6}{2}}$
$y={\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}$

解説

STEP1 $2$ 直線の交点を求める。

$\{\begin{array}{l}x+y-4=0\cdots (i)\\ 2x-y+1=0\cdots (ii)\end{array}$

$(i)+(ii)$ より

　$3x-3=0$
　$x=1$

$(i)$ に代入

　$1+y-4=0$
　$y=3$

よって、交点は $(1$,　$3)$

STEP2 条件より直線の方程式を求める

上記で求めた交点 $(1$,　$3)$ と問いにある点 $(-1$,　$2)$ を通ることがわかったので、このことから傾きを求める。

　$\mathrm{傾}\mathrm{き}={\displaystyle \frac{3-2}{1-(-1)}={\displaystyle \frac{1}{2}}}$

よって、点 $(1$,　$3)$ を通り、傾き ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ の直線の方程式を求めれば良い。

$y-3={\displaystyle \frac{1}{2}(x-1)}$
$y-3={\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}$
$y={\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+3}$
$y={\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+\frac{6}{2}}$$y={\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}$

おわりに